こんにちは。札幌自学塾・新道東店の講師、五十嵐です。
いよいよ私立高校の入試は来週に、公立高校の入試も3週間に迫りました。
私のブログでは、高校入試のラストスパートとして、合同証明の記述問題を取り上げることにします。
難易度は基礎~標準レベル、全6回を予定しています。
私の前回の記事や塾長のYouTube動画講座も併せてご覧ください。
合同証明の記述問題~その1~
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=940x10000:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/i055283f3e2fefc97/version/1613067793/image.png)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=470x1024:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/ia6f87e489c348503/version/1613069339/image.png)
問1
次の図のように、正方形ABCDの辺BC、CD上にそれぞれ BE=CF となる点E、Fをとり、AとE、BとFを結んだ交点をPとする。このとき、△ABE≡△BCF であることを証明しなさい。
考え方
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=470x1024:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/i5326f8de04ec937d/version/1613069339/image.png)
まずは、ゴールを確認しましょう。
△ABE≡△BCF を証明することが目標です。
この2つの三角形が図中のどこを指しているのかを把握しましょう。
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=470x1024:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/i527df17ba94a2ee8/version/1613069339/image.png)
次に、設問文から読み取れる条件を図にどんどん書き入れてゆきます。
簡単なところでは、仮定より、BE=CF(赤)ですね。
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=470x1024:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/i86f357c11f54b28b/version/1613069339/image.png)
更に設問文から読み取れる条件を図に書き入れてゆきます。
が、みなさんは、他に使える条件があることに気付きましたか?
四角形ABCDが「正方形」というのがポイントです。
正方形ということは、全ての辺の長さが等しく、全ての角の大きさが90°であることを示しています。
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=470x1024:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/i552f713c919afb77/version/1613069339/image.png)
よって、四角形ABCDが正方形なので、AB=BC(青)、∠ABE=∠BCF=90°(緑)だと分かります。
設問文の「正方形」という言葉だけで、このように導かなくてはなりません。
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=470x1024:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/iecac15ddf4e4f218/version/1613069339/image.png)
以上で、BE=CF(赤)、AB=BC(青)、∠ABE=∠BCF=90°(緑)と3つの材料が揃いましたので、
「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
と言うことができるため、△ABE≡△BCF が成り立つと証明することができます。
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=470x1024:format=png/path/s74caeeab28fb94a8/image/i8d03f74e45e568d0/version/1613069339/image.png)
なお、この問題のように、合同を証明したい2つの図形の一部が重なっていたり、向きが違っていたりして分かりにくい場合は、塾長の動画でも紹介されていたように図形を抜き出して条件を書き入れてゆくのも有効な手段です。
解答例
△ABEと△BCFにおいて、
仮定より、BE=CF・・・①
四角形ABCDは正方形なので、
AB=BC・・・②、 ∠ABE=∠BCF=90°・・・③
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABE≡△BCF
参考:ハイクラステスト数学(受験研究社)
画像素材:いらすとや(https://www.irasutoya.com/)